线性代数示例

$\frac{x + 5}{2} - \frac{y + 5}{3} = 4$ , $\frac{x + y}{2} = \frac{1}{3} + \frac{x - y}{3}$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

要将 $\frac{x + 5}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{x + 5}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{y + 5}{3} = 4, \frac{x + y}{2} = \frac{1}{3} + \frac{x - y}{3}$

解题步骤 1.2

要将 $- \frac{y + 5}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x + 5}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{y + 5}{3} \cdot \frac{2}{2} = 4, \frac{x + y}{2} = \frac{1}{3} + \frac{x - y}{3}$

解题步骤 1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{x + 5}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{(x + 5) \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{y + 5}{3} \cdot \frac{2}{2} = 4, \frac{x + y}{2} = \frac{1}{3} + \frac{x - y}{3}$

解题步骤 1.3.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{(x + 5) \cdot 3}{6} - \frac{y + 5}{3} \cdot \frac{2}{2} = 4, \frac{x + y}{2} = \frac{1}{3} + \frac{x - y}{3}$

解题步骤 1.3.3

将 $\frac{y + 5}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{(x + 5) \cdot 3}{6} - \frac{(y + 5) \cdot 2}{3 \cdot 2} = 4, \frac{x + y}{2} = \frac{1}{3} + \frac{x - y}{3}$

解题步骤 1.3.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{(x + 5) \cdot 3}{6} - \frac{(y + 5) \cdot 2}{6} = 4, \frac{x + y}{2} = \frac{1}{3} + \frac{x - y}{3}$

解题步骤 1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{(x + 5) \cdot 3 - (y + 5) \cdot 2}{6} = 4, \frac{x + y}{2} = \frac{1}{3} + \frac{x - y}{3}$

解题步骤 1.5

化简分子。

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解题步骤 1.5.1

运用分配律。

$\frac{x \cdot 3 + 5 \cdot 3 - (y + 5) \cdot 2}{6} = 4, \frac{x + y}{2} = \frac{1}{3} + \frac{x - y}{3}$

解题步骤 1.5.2

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot x + 5 \cdot 3 - (y + 5) \cdot 2}{6} = 4, \frac{x + y}{2} = \frac{1}{3} + \frac{x - y}{3}$

解题步骤 1.5.3

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 \cdot x + 15 - (y + 5) \cdot 2}{6} = 4, \frac{x + y}{2} = \frac{1}{3} + \frac{x - y}{3}$

解题步骤 1.5.4

运用分配律。

$\frac{3 x + 15 + (- y - 1 \cdot 5) \cdot 2}{6} = 4, \frac{x + y}{2} = \frac{1}{3} + \frac{x - y}{3}$

解题步骤 1.5.5

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{3 x + 15 + (- y - 5) \cdot 2}{6} = 4, \frac{x + y}{2} = \frac{1}{3} + \frac{x - y}{3}$

解题步骤 1.5.6

运用分配律。

$\frac{3 x + 15 - y \cdot 2 - 5 \cdot 2}{6} = 4, \frac{x + y}{2} = \frac{1}{3} + \frac{x - y}{3}$

解题步骤 1.5.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 x + 15 - 2 y - 5 \cdot 2}{6} = 4, \frac{x + y}{2} = \frac{1}{3} + \frac{x - y}{3}$

解题步骤 1.5.8

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 x + 15 - 2 y - 10}{6} = 4, \frac{x + y}{2} = \frac{1}{3} + \frac{x - y}{3}$

解题步骤 1.5.9

从 $15$ 中减去 $10$ 。

$\frac{3 x - 2 y + 5}{6} = 4, \frac{x + y}{2} = \frac{1}{3} + \frac{x - y}{3}$

解题步骤 2

在公分母上合并分子。

$\frac{3 x - 2 y + 5}{6} = 4, \frac{x + y}{2} = \frac{1 + x - y}{3}$

解题步骤 3

将所有包含变量的项移到等式左边。

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解题步骤 3.1

从等式两边同时减去 $\frac{1 + x - y}{3}$ 。

$\frac{3 x - 2 y + 5}{6} = 4, \frac{x + y}{2} - \frac{1 + x - y}{3} = 0$

解题步骤 3.2

要将 $\frac{x + y}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{3 x - 2 y + 5}{6} = 4, \frac{x + y}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1 + x - y}{3} = 0$

解题步骤 3.3

要将 $- \frac{1 + x - y}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3 x - 2 y + 5}{6} = 4, \frac{x + y}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1 + x - y}{3} \cdot \frac{2}{2} = 0$

解题步骤 3.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 3.4.1

将 $\frac{x + y}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{3 x - 2 y + 5}{6} = 4, \frac{(x + y) \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{1 + x - y}{3} \cdot \frac{2}{2} = 0$

解题步骤 3.4.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 x - 2 y + 5}{6} = 4, \frac{(x + y) \cdot 3}{6} - \frac{1 + x - y}{3} \cdot \frac{2}{2} = 0$

解题步骤 3.4.3

将 $\frac{1 + x - y}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3 x - 2 y + 5}{6} = 4, \frac{(x + y) \cdot 3}{6} - \frac{(1 + x - y) \cdot 2}{3 \cdot 2} = 0$

解题步骤 3.4.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 x - 2 y + 5}{6} = 4, \frac{(x + y) \cdot 3}{6} - \frac{(1 + x - y) \cdot 2}{6} = 0$

解题步骤 3.5

在公分母上合并分子。

$\frac{3 x - 2 y + 5}{6} = 4, \frac{(x + y) \cdot 3 - (1 + x - y) \cdot 2}{6} = 0$

解题步骤 3.6

化简分子。

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解题步骤 3.6.1

运用分配律。

$\frac{3 x - 2 y + 5}{6} = 4, \frac{x \cdot 3 + y \cdot 3 - (1 + x - y) \cdot 2}{6} = 0$

解题步骤 3.6.2

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{3 x - 2 y + 5}{6} = 4, \frac{3 \cdot x + y \cdot 3 - (1 + x - y) \cdot 2}{6} = 0$

解题步骤 3.6.3

将 $3$ 移到 $y$ 的左侧。

$\frac{3 x - 2 y + 5}{6} = 4, \frac{3 \cdot x + 3 \cdot y - (1 + x - y) \cdot 2}{6} = 0$

解题步骤 3.6.4

将 $3$ 乘以 $y$ 。

$\frac{3 x - 2 y + 5}{6} = 4, \frac{3 x + 3 y - (1 + x - y) \cdot 2}{6} = 0$

解题步骤 3.6.5

运用分配律。

$\frac{3 x - 2 y + 5}{6} = 4, \frac{3 x + 3 y + (- 1 \cdot 1 - x - - y) \cdot 2}{6} = 0$

解题步骤 3.6.6

化简。

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解题步骤 3.6.6.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 x - 2 y + 5}{6} = 4, \frac{3 x + 3 y + (- 1 - x - - y) \cdot 2}{6} = 0$

解题步骤 3.6.6.2

乘以 $- - y$ 。

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解题步骤 3.6.6.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 x - 2 y + 5}{6} = 4, \frac{3 x + 3 y + (- 1 - x + 1 y) \cdot 2}{6} = 0$

解题步骤 3.6.6.2.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 x - 2 y + 5}{6} = 4, \frac{3 x + 3 y + (- 1 - x + y) \cdot 2}{6} = 0$

解题步骤 3.6.7

运用分配律。

$\frac{3 x - 2 y + 5}{6} = 4, \frac{3 x + 3 y - 1 \cdot 2 - x \cdot 2 + y \cdot 2}{6} = 0$

解题步骤 3.6.8

化简。

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解题步骤 3.6.8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 x - 2 y + 5}{6} = 4, \frac{3 x + 3 y - 2 - x \cdot 2 + y \cdot 2}{6} = 0$

解题步骤 3.6.8.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 x - 2 y + 5}{6} = 4, \frac{3 x + 3 y - 2 - 2 x + y \cdot 2}{6} = 0$

解题步骤 3.6.8.3

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$\frac{3 x - 2 y + 5}{6} = 4, \frac{3 x + 3 y - 2 - 2 x + 2 \cdot y}{6} = 0$

解题步骤 3.6.9

从 $3 x$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{3 x - 2 y + 5}{6} = 4, \frac{x + 3 y - 2 + 2 y}{6} = 0$

解题步骤 3.6.10

将 $3 y$ 和 $2 y$ 相加。

$\frac{3 x - 2 y + 5}{6} = 4, \frac{x + 5 y - 2}{6} = 0$

解题步骤 4

以矩阵形式书写方程组。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{6} & 0 & 4 \\ \frac{1}{6} & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 5

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 5.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $6$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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解题步骤 5.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $6$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 6 (\frac{1}{6}) & 6 \cdot 0 & 6 \cdot 4 \\ \frac{1}{6} & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 5.1.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 24 \\ \frac{1}{6} & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 5.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{6} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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解题步骤 5.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{6} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 24 \\ \frac{1}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{6} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{6} \cdot 24 \end{array}]$

解题步骤 5.2.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 24 \\ 0 & 0 & - 4 \end{array}]$

解题步骤 5.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{4}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

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解题步骤 5.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{4}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 24 \\ - \frac{1}{4} \cdot 0 & - \frac{1}{4} \cdot 0 & - \frac{1}{4} \cdot - 4 \end{array}]$

解题步骤 5.3.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 24 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 5.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 24 R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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解题步骤 5.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 24 R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 24 \cdot 0 & 0 - 24 \cdot 0 & 24 - 24 \cdot 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 5.4.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 6

使用结果矩阵定义方程组的最终解。

$x = 0$

$0 = 1$

解题步骤 7

因为 $0 \neq 1$ ，所以没有解。

无解

线性代数 示例

线性代数示例